De verzameling van Mandelbrot (4)
Het zal opgevallen zijn dat het tweede rijtje punten waarmee we dit verhaal begonnen zijn niet alleen binnen een cirkel met straal 2
ligt maar dat ze ook naderen tot 3 verschillende punten in het vlak. Het blijkt (al heeft dat nog niemand kunnen bewijzen) dat
zo'n begrensd rijtje altijd nadert tot 1,2,3 of meer punten in het vlak. Voor (a,b)-waarden uit het grote hartvormige gebied
geldt dat het bijbehorende rijtje naar precies 1 punt in het vlak nadert. Dit helpt ons om de rand van dat gebied te bepalen.
Bepalen van een vergelijking voor het hartvormige gebied.
Stel namelijk dat (xn,yn) convergeert naar (x,y), dan convergeert natuurlijk
(xn+1,yn+1) ook naar (x,y) en dus levert ons de vergelijkingen
xn+1 = xn2 - yn2 + a en
yn+1 = 2xnyn + b in het limietgeval
x = x2 - y2 + a en y = 2xy + b.
Verder geldt dat binnen het hartvormige gebied de rij punten naar 1 punt worden "toegetrokken" en er dus niet van worden "afgestoten".
Dit heeft tot consequentie dat voor een punt op de rand de rij (x0,y0), (x1,y1), ... naar een punt convergeert op
afstand 1/2 van de oorsprong (Bewijs).
